Quoziente di polinomi del tipo \( A^n - B^n \)

Un polinomio del tipo \( A^n - B^n \) è sempre divisibile per \( A - B \).

Ciò significa che si può sempre fattorizzare un polinomio del tipo \( A^n - B^n \).

Uno dei fattori sarà \( A - B \).

L'altro fattore sarà un polinomio della forma

$$ \Large\boxed{\sum_{k=0}^{{n-1}}A^{n-1-k}B^k} $$

cioè

\( A^{n-1-0}B^0 + A^{n-1-1}B^1 + A^{n-1-2}B^2 + \cdots + A^{n-1-(n-1)}B^{n-1} \)

cioè

\( A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^2+\cdots+B^{n-1} \)

Esempio 1: \( A^3 - B^3 \)

$$ A^3 - B^3 = (A-B){\sum_{k=0}^{{3-1}}A^{3-1-k}B^k} $$

$$ A^3 - B^3 = (A-B)(A^{3-1-0}B^0 + A^{3-1-1}B^1 + A^{3-1-2}B^2) $$

$$ A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2) $$

Esempio 2: \( x^3 - 8 \)

$$ x^3 - 8 = x^3-2^3 = (x - 2){\sum_{k=0}^{{3-1}}x^{3-1-k}2^k} $$

$$ x^3 - 8 = (x-2)(x^{3-1-0}2^0 + x^{3-1-1}2^1 + x^{3-1-2}2^2) $$

$$ x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) $$